ครูจุ๋มวิทยาศาสตร์ ครูจุ๋มวิทยาศาตร์ ครูจุ๋มวิทยาศาตร์: เลขยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม บวก

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n$

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

$a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n$

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น
เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน aⁿ สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

นิพจน์ a² = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a² ตารางหน่วย
นิพจน์ a³ = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a³ ลูกบาศก์หน่วย
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

[แก้] เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1

เนื่องจาก a¹ หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a
จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง a^{n − 1} = aⁿ/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a⁰ = 1
หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น

$1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0$

เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a⁰ = 1 นำไปสู่กฎสองประการ

จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 0⁰ ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

[แก้] ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

0⁵ = │ {} │ = 0	ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
1⁴ = │ { (1,1,1,1) } │ = 1	มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
2³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8	มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
3² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9	มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
4¹ = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
5⁰ = │ { () } │ = 1	มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

จึงสามารถนิยามว่า

$a^{-n} = (a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n}$

เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม
นิยามของ a⁻ⁿ สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ a^maⁿ = a^m+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้

$a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1$

เมื่อ a⁰ ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a⁻ⁿ = 1/aⁿ ดังที่ได้กล่าวแล้ว
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น

$3^{-4} = (((1/3)/3)/3)/3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}$

[แก้] เอกลักษณ์และสมบัติ

เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา

$a^{m - n} = \frac{a^m}{a^n};\;a \ne 0$

และ

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 2³ = 8 แต่ 3² = 9
และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) และ (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2³ ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8⁴ หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 3⁴" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2⁸¹ หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

$a^{b^c} = a^{(b^c)} \ne (a^b)^c$

[แก้] กำลังของ 10

ดูเพิ่มที่ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 10³ = 1,000 และ 10⁻⁴ = 0.0001 เป็นต้น
การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (ความเร็วแสงในสุญญากาศ) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458 × 10⁸ m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998 × 10⁸ m/s
คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 10³ = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร

[แก้] กำลังของ 2

กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปร ฐานสองขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2ⁿ ค่า
กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2ⁿ ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)
กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2⁻¹ = $\tfrac{ 1 } { 2 }$ หมายถึงครึ่ง (half), 2⁻² = $\tfrac{ 1 } { 4 }$ คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น
ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 2³ เขียนในเลขฐานสองว่า 1000₂ เป็นต้น

[แก้] กำลังของ 1

กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1ⁿ = 1

[แก้] กำลังของ 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0ⁿ = 0; n > 0
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0⁰ = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

[แก้] กำลังของ −1

ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1)ⁿ = 1
ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1)ⁿ = −1
จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน

[แก้] เลขชี้กำลังขนาดใหญ่

ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด

aⁿ → ∞ เมื่อ n → ∞ ถ้า a > 1

อาจเรียกได้ว่า a ยกกำลัง n จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ a มีค่ามากกว่า 1
สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0

aⁿ → 0 เมื่อ n → ∞ ถ้า |a| < 1

และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ

aⁿ = 1 สำหรับทุกค่าของ n ถ้า a = 1

แต่หากฐาน a มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ

(1 + n⁻¹)ⁿ → e เมื่อ n → ∞

ดูเพิ่มในกำลังของ e

[แก้] กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก

การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ n และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่อง
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้

$(a^r)^s = a^{r\cdot s}$

ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ n ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

[แก้] รากที่ n มุขสำคัญ

จากบนลงล่าง: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸

ดูบทความหลักที่ รากที่ n

รากที่ n ของจำนวน a คือจำนวน x ที่ซึ่ง xⁿ = a
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ xⁿ = a ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญของ a (principal n-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $\sqrt[n]{x}$ เมื่อ $\sqrt{\,\,}$ คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น a^1/n เช่น 4^1/2 = 2, 8^1/3 = 2
เมื่อพูดถึงรากที่ n ของจำนวนจริงบวก a มักจะหมายถึงรากที่ n มุขสำคัญของ a ดังที่ได้กล่าวแล้วนั้น

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

กำลังของจำนวนจริงบวก a ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ

$a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$

เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนเต็มบวก

[แก้] กำลังของ e

ดูบทความหลักที่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1

$e =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้

$e^x =\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n$

มี x เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง

$e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ x ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ x และ y สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น
การพิสูจน์อย่างสั้นว่า e ยกกำลังจำนวนเต็มบวก k เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^k แสดงได้ดังนี้

$\begin{align} (e)^k &= \left[\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{n \cdot k \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} \\ &= \lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m = e^k \end{align}$

แสดงให้เห็นว่า e^x+y สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง

เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง x ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้

$b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R)$

ลิมิตดังกล่าวซึ่ง r ที่มีค่าเข้าใกล้ x ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ r
ยกตัวอย่าง ถ้า

$x \approx 1.732$

ดังนั้น

$5^x \approx 5^{1.732} = 5^{433/250} = \sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241$

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ
ลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x ซึ่งนิยามไว้สำหรับ b > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข

$b = e^{\ln b}\,$

ถ้า b^x ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า

$b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}$

สำหรับจำนวนจริง x แต่ละจำนวน
สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง b^x และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย

[แก้] รากที่ n ที่เป็นลบ

กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ x² = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 4^1/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น
ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จากสมการ xⁿ = a ถ้า a เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ n ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า a เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จากสมการ xⁿ = a จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า a เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า a เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ
สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า m เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ a เป็นลบ ถ้า m กับ n เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ a เป็นบวกและ n เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27)^1/3 = −3, (−27)^2/3 = 9, 4^3/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง x ที่ทำให้ x² = −1 ดังนั้นนิยามของ a^m/n ในกรณีที่ a เป็นลบและ n เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ i เข้ามาเกี่ยวข้อง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม a^r ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r และทำนองเดียวกัน e^r ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r ดังนั้น ln(a) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ a ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ a สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ a)
วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า a ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน f(r) = a^r เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ a > 0 แต่ในกรณี a < 0 ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง r ที่กำหนดไว้แต่ละค่า
ตัวอย่าง สมมติให้ a = −1 รากที่ n ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก n ทุกจำนวน; แต่ถ้า n เป็นจำนวนคู่บวก (−1)^(m/n) = −1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่, (−1)^(m/n) = 1 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ q ที่ทำให้ (−1)^q = 1 เป็นเซตหนาแน่น (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ q ที่ทำให้ (−1)^q = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1)^q ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ q ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า
เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ n ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระวัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27 = (−27)^{((2/3)×(3/2))} = ((−27)^2/3)^3/2 = 9^3/2 = 27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก

[แก้] กำลังจำนวนจินตภาพของ e

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z สามารถนิยามโดยลิมิตของ (1 + z/N)^N เมื่อ N มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และเมื่อเป็นเช่นนั้น e^iπ ก็จะเป็นลิมิตของ (1 + iπ/N)^N ในภาพเคลื่อนไหวนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง 100 การคำนวณ (1 + iπ/N)^N แสดงเป็นผลร่วมที่เกิดจากการคูณซ้ำ ๆ N ตัวในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งจุดสุดท้ายเป็นค่าที่แท้จริงของ (1 + iπ/N)^N แสดงให้เห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N)^N จะมีค่าเข้าใกล้ −1 ดังนั้น e^iπ = −1 ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์ของออยเลอร์

ดูบทความหลักที่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การทำความเข้าใจ e^ix สำหรับจำนวนจริง x ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ e ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (0, 1, 1 + ix/n) สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ x/n เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ (0, (1 + ix/n)^k, (1 + ix/n)^k+1) ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ k ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน n ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ (1 + ix/n)ⁿ ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ x เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ (r, θ) = (1, x) และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ (cos x, sin x) ดังนั้นในท้ายที่สุด e^ix = cos x + i sin x เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
คำตอบของสมการ e^z = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi

$\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}$

ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e^b = a ดังนั้นคำตอบของสมการ e^z = a หาได้โดยการบวก b เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi

$\{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}$

ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2πi
นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น e^iπ = −1; e^{x + iy} = e^x(cos y + i sin y)

[แก้] ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ดูบทความหลักที่ สูตรของออยเลอร์

จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น

$\cos(z) = \frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2}; \qquad \sin(z) = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}$

โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}$

การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e

การยกกำลัง z = e^x+i·y สามารถคำนวณได้จาก e^x · e^i·y; ตัวประกอบส่วนจริง e^x คือค่าสัมบูรณ์ของ z และตัวประกอบส่วนจินตภาพ e^i·y ระบุทิศทางของ z

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก

กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง a^z นิยามโดย e^z·ln(a) เมื่อ x = ln(a) เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ e^x = a ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

2ⁱ = e ^i·ln(2) = cos(ln(2)) + i·sin(ln(2)) ≈ 0.76924 + 0.63896i

eⁱ ≈ 0.54030 + 0.84147i

10ⁱ ≈ −0.66820 + 0.74398i

(e^2π)ⁱ ≈ 535.49ⁱ ≈ 1

[แก้] กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า i คือหน่วยจินตภาพและ n คือจำนวนเต็มแล้ว iⁿ จะมีค่าเท่ากับ 1, i, −1 หรือ −i ขึ้นอยู่กับค่า n ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ n หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าใด) ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ i จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทนลำดับที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง e^x ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อกำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือฟังก์ชันหลายค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้
กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น w = z^1/2 ต้องเป็นคำตอบของสมการ w² = z แต่เมื่อ w เป็นคำตอบแล้ว −w ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1)² = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย
กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนผิวรีมันน์ (Riemann surface) รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนวส่วนตัดกิ่ง (branch cut) การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้
กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน
กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a และ b ซึ่ง a ≠ 0 สัญกรณ์ a^b เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log a
เพื่อหาค่าของ a^b ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ a ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log a (คือค่ามุขสำคัญของ log a โดยปริยายหากมิได้กำหนดเงื่อนไขอื่นเพิ่ม) หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log z ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนดังนี้

$a^b = e^{b \log a}\!$

เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีที่ a เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log a (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) ได้ถูกเลือก
ถ้า b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ a^b จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log a เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ถ้า b เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ n > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน n จำนวนสำหรับ a^b ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน z ที่เป็นคำตอบของสมการ zⁿ = a^m
ถ้า b เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ a^b ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน a เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้ควอเทอร์เนียน (quaternion) ได้ด้วย

[แก้] รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)

รากที่สามของ 1 ทั้งสามราก

ดูบทความหลักที่ รากของ 1

จำนวนเชิงซ้อน a ที่ทำให้ aⁿ = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก n เรียกว่า รากที่ n ของ 1 (nth root of unity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า รากของ 1 (root of unity) รากเหล่านี้มี n คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป n เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1
ถ้า zⁿ = 1 แต่ z^k ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ตามเงื่อนไข 0 < k < n แล้ว z จะเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n (primitive nth root of unity) ตัวอย่างเช่น −1 เป็นรากปฐมฐานที่สองเพียงตัวเดียว, รากปฐมฐานที่สี่มีสองตัวได้แก่ i และ −i (ไม่นับรากปฐมฐานที่สอง) เป็นต้น
จำนวน e^{2πi (1/n)} คือรากปฐมฐานที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ n ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 ^[1])
ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก

$\left( e^{ 2 \pi i / n } \right) ^k = e^{2 \pi i k / n}$

สำหรับ 2 ≤ k ≤ n

[แก้] รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป

แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ a^z โดยเฉพาะในกรณีที่ z = 1/n และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ n ของ a ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ xⁿ = a
ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม a^1/n ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1
เซตของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน a หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ a^1/n ด้วยรากที่ n ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2i และ −2i เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, i และ −i

[แก้] การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน

การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้

$z = re^{i\theta} = e^{\ln(r) + i\theta} \,$

เมื่อ r คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ z (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน u + iv แทนได้ด้วยจุด (u, v) บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น (r, θ) ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า r คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม r² = u² + v² และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2(v, u) (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน arctan ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
เพื่อที่จะคำนวณกำลังเชิงซ้อน a^b ขั้นแรกเขียน a ในรูปแบบเชิงขั้ว

$a = r e^{i\theta} \,$

ดังนั้น

$\log a = \log r + i \theta \,$

และจะได้

$a^b = e^{b \log a} = e^{b(\log r + i\theta)} \,$

ถ้า b ถูกแบ่งออกเป็น c + di ดังนั้นสูตรสำหรับ a^b จึงเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เป็น

$\left( r^c e^{-d\theta} \right) e^{i (d \log r + c\theta)} = \left( r^c e^{-d\theta} \right) \left[ \cos(d \log r + c\theta) + i \sin(d \log r + c\theta) \right]$

สูตรสุดท้ายนี้ช่วยคำนวณการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนได้โดยง่าย จากการแบ่งฐานกับเลขชี้กำลังออกเป็นรูปแบบเชิงขั้วกับรูปแบบคาร์ทีเซียนตามลำดับ สูตรดังกล่าวแสดงผลลัพธ์ทั้งรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียน (ผ่านทางเอกลักษณ์ของออยเลอร์)
ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้ค่ามุขสำคัญคือส่วนตัดกิ่งที่ทำให้ θ อยู่ในช่วงค่า (−π, π] กำหนดโจทย์ i ⁱ ขั้นแรกเขียน i ในรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียนดังนี้

$i = 1 \cdot e^{i \pi/2}\,$

$i = 0 + 1i\,$

จากการแปลงด้านบน จะได้ว่า r = 1, θ = π/2, c = 0 และ d = 1 ดังนั้น

$\ i^i = \left( 1^0 e^{-\pi/2} \right) e^{i(1\cdot \log 1 + 0 \cdot \pi/2)} = e^{-\pi/2} \approx 0.2079$

เช่นเดียวกันสำหรับโจทย์ (−2)^{3 + 4i} หารูปแบบเชิงขั้วของ −2 ได้เป็น

$-2 = 2e^{i \pi}\,$

แล้วใช้สูตรด้านบนคำนวณจนได้คำตอบ

$(-2)^{3+4i} = \left( 2^3 e^{-4\pi} \right) e^{i(4\log(2) + 3\pi)} \approx (2.602 - 1.006 i) \cdot 10^{-5}$

ค่าของการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับกิ่งที่เลือก ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกรูปแบบเชิงขั้วของ i = 1e^i (5π/2) เพื่อคำนวณ i ⁱ คำตอบจะกลายเป็น e^−5π/2 แต่ค่ามุขสำคัญของ i ⁱ คือ e^−π/2 ดังตัวอย่างที่แสดงไว้แล้ว เซตของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับ i ⁱ สามารถหาได้จากเงื่อนไข ^[2]

$i = 1 \cdot e^{i \pi/2 + i 2 \pi k}$

$i^i = e^{i \left(i \pi/2 + i 2 \pi k\right)} = e^{-\left(\pi/2 + 2 \pi k\right)}$

เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้ของ i ⁱ จึงมีจำนวนไม่จำกัดสำหรับค่า k แต่ละค่า คำตอบทั้งหมดมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่า i ⁱ มีค่าเป็นจำนวนจริงและมีเป็นอนันต์

[แก้] ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง

เอกลักษณ์ log(a^b) = b · log a เป็นจริงเมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกและ b เป็นจำนวนจริง แต่สำหรับกิ่งมุขสำคัญ (principal branch) ของลอการิทึมเชิงซ้อนจะได้ว่า

$i\pi = \log(-1) = \log((-i)^2) \,\neq\, 2\log(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi$
ไม่ว่ากิ่งใดของลอการิทึมจะถูกเลือก ความผิดพลาดดังกล่าวก็ยังคงมีอยู่ แนวทางที่ดีที่สุด (เมื่อต้องการใช้ผลลัพธ์เท่านั้น) คือการกำหนดให้

$\log(a^b) \equiv b \cdot \log(a) \pmod{2 \pi i}$
เอกลักษณ์นี้ก็ไม่เป็นจริงหากพิจารณาว่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหลายค่า ค่าที่เป็นไปได้ของ log(a^b) จะมีค่า b · log a เหล่านั้นเป็นเพียงเซตย่อยเซตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์ซึ่งแสดงด้วย Log(a) แทนค่ามุขสำคัญของ log(a) และ m กับ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่า

$\left\{\log(a^b)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \right\}$
$\left\{b \cdot \log(a)\right\} = \left\{ b \cdot \operatorname{Log}(a) + b \cdot 2 \pi i n \right\}$

เอกลักษณ์ (ab)^c = a^cb^c และ (a/b)^c = a^c/b^c ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a กับ b เป็นจำนวนจริงบวกและ c เป็นจำนวนจริง แต่การคำนวณโดยใช้กิ่งมุขสำคัญแสดงให้เห็นว่า

$1 = (-1\times -1)^{1/2} \not = (-1)^{1/2}(-1)^{1/2} = -1$
และ

$i = (-1)^{1/2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^{1/2} \not = \frac{1^{1/2}}{(-1)^{1/2}} = \frac{1}{i} = -i$
ในทางตรงข้าม เมื่อ c เป็นจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้จะใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน
ถ้าการยกกำลังถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ (−1×−1)^1/2 คือ {1, −1} เอกลักษณ์ยังคงเป็นจริง แต่การกล่าวว่า {1} = {(−1×−1)^1/2} นั้นผิด

เอกลักษณ์ (e^a)^b = e^ab เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง a และ b แต่การสมมติให้เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่ปฏิทรรศน์ต่อไปนี้ ซึ่งค้นพบโดยโทมัส คลาวเซน (Thomas Clausen) เมื่อ ค.ศ. 1827 ^[3]
สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ จะได้ว่า
1. $e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e \,$
2. $\left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e \,$
3. $e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e \,$
4. $e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e \,$
5. $e^{-4 \pi^2 n^2} = 1 \,$
แต่สิ่งนี้เป็นเท็จเมื่อจำนวนเต็ม n ไม่เท่ากับศูนย์
การให้เหตุผลดังกล่าวมีปัญหาเกิดขึ้นหลายปัญหา ความผิดพลาดหลักคือการเปลี่ยนอันดับของการยกกำลัง จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม ได้เปลี่ยนค่ามุขสำคัญที่จะถูกเลือกใช้
จากมุมมองของฟังก์ชันหลายค่า ความผิดพลาดอย่างแรกเกิดขึ้นก่อนหน้านั้นซึ่งเห็นได้โดยปริยายจากบรรทัดแรกแต่ไม่เด่นชัด คือ e เป็นจำนวนจริงในขณะที่ผลลัพธ์ของ e^1+2πin เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งควรเขียนแทนด้วย e+0i มากกว่า การแทนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับจำนวนจริงในบรรทัดที่สอง ทำให้การยกกำลังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายค่า การเปลี่ยนอันดับของการยกกำลังจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม จึงส่งผลต่อค่าที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ว่ามีเป็นจำนวนเท่าใดด้วย

[แก้] 0 ยกกำลัง 0

กราฟของ z = abs(x)^y ซึ่งเส้นโค้งสีแดงมีลิมิตต่างกันเมื่อ (x,y) มีค่าเข้าใกล้ (0,0) ในขณะที่เส้นโค้งสีเขียวทุกเส้นมีลิมิตเท่ากับ 1

ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 0⁰ ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 0⁰ หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0⁰ คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น

การพิจารณา a⁰ ให้เป็นผลคูณว่างซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า a จะเท่ากับ 0
การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 0⁰ คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว
ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 0⁰ คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ ฟังก์ชันว่าง (empty function) ^[4]
สัญกรณ์ $\textstyle \sum a_nx^n$ สำหรับพหุนามและอนุกรมกำลังขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 0⁰ = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ และ $e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ และทฤษฎีบททวินาม $(1+x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k$ จะใช้งานไม่ได้เมื่อ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 0⁰ = 1 ^[5]
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กฎการยกกำลัง $\textstyle\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ จะใช้ไม่ได้สำหรับ n = 1 ที่ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 0⁰ = 1

ในทางตรงข้าม เมื่อ 0⁰ เกิดจากลิมิตในรูปแบบ $\lim_{(x,y)\rarr(0,0)} x^y$ ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)

ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ^[6] หาก f(t) และ g(t) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ f(t) > 0 แล้วฟังก์ชัน f(t)^g(t) ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ f(t)^g(t) อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ f และ g ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบ f(t)^g(t) ซึ่ง f(t),g(t) → 0 เมื่อ t → 0⁺ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้

$\lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}$
ดังนั้น 0⁰ จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร x^y แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต {(x,y): x > 0} ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตใด ๆ ที่รวม (0,0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 0⁰ จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร ^[7] อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ f กับ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) ทั้งคู่และ f ไม่เป็นลบ ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ ^[8]^[9]^[10]

ในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน z^w ถูกนิยามขึ้นสำหรับ z ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log z และกำหนดให้ z^w := e^w log z แต่ไม่มีกิ่งของ log z ที่นิยามไว้สำหรับ z เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม ^[11]

[แก้] มุมมองที่แตกต่างในอดีต

ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น

กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 0⁰ ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา ^[12] เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 0⁰ หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง" ^[13]
อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 0⁰ ควรจะเท่ากับ 1 คนูธบอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 0⁰ ให้เป็น รูปแบบลิมิต ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 0⁰ ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก" ^[14]

การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 0⁰ = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 0⁰ พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น $\tfrac{ 0 } { 0 }$ ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม ^[15] ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 0⁰ = 1 ^[16]^[17] กล่าวคือ การอ้างว่า $\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1$ เมื่อใดก็ตามที่ $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0$ เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา ^[18] ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (e^−1/t)^t ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 0⁰ ไม่ควรนิยาม ^[14]

[แก้] การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์

[แก้] มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE

มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้ ^[19]

pow ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ pown หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ powr (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)
pown ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น pown(−3,5) ให้ผลลัพธ์ −243
powr ให้ค่า 0⁰ เป็น NaN (ไม่ใช่จำนวน คือไม่นิยาม) ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็น NaN ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น powr(−3,2) ค่าของมันนิยามขึ้นจาก e^{เลขชี้กำลัง×log(ฐาน)}

[แก้] ภาษาโปรแกรม

ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 0⁰ เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative) ^[20] มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้ ^[21] System.Math.Pow ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 0⁰ เป็น 1 เช่นกัน ^[22]

[แก้] ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์

เซจ ลดรูป a⁰ เป็น 1 แม้ไม่มีข้อจำกัดสำหรับ a ^[23] ไม่ลดรูป 0^a และให้ค่า 0⁰ เป็น 1
เมเพิล ลดรูป a⁰ เป็น 1 และ 0^a เป็น 0 แม้ไม่มีข้อจำกัดสำหรับ a (การลดรูปอย่างหลังสามารถใช้ได้เฉพาะ a > 0) และให้ค่า 0⁰ เป็น 1
แมกซิมา ก็ลดรูป a⁰ เป็น 1 และ 0^a เป็น 0 ด้วยเช่นกัน แม้ไม่มีข้อจำกัดสำหรับ a แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 0⁰
แมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟา ลดรูป a⁰ เป็น 1 แม้ไม่มีข้อจำกัดสำหรับ a ^[24] แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0^a ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด ^[25] ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 0⁰ เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ^[26]

[แก้] ลิมิตของการยกกำลัง

หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 0⁰ ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร x^y ไม่มีลิมิตที่จุด (0,0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง
เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน f(x,y) = x^y ที่นิยามบนโดเมน D = {(x,y) ∈ R² : x > 0} ดังนั้น D อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ R² (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ซึ่ง x,y อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย R = [−∞, +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน f มีลิมิต
โดยข้อเท็จจริง f จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ D ยกเว้น (0,0), (+∞,0), (1,+∞) และ (1,−∞) ^[27] ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง x^y ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเว้น 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ และ 1^−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด
ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้

a^+∞ = +∞ และ a^−∞ = 0 เมื่อ 1 < a ≤ +∞
a^+∞ = 0 และ a^−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ a < 1
0^b = 0 และ (+∞)^b = +∞ เมื่อ 0 < b ≤ +∞
0^b = +∞ และ (+∞)^b = 0 เมื่อ −∞ ≤ b < 0

กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ x^y สำหรับค่า x ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม x^y เมื่อ x < 0 เพราะคู่อันดับ (x,y) ต่าง ๆ ที่ x < 0 ไม่ใช่จุดสะสมของ D
ในอีกทางหนึ่ง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม การยกกำลัง xⁿ มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ x ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0ⁿ = +∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า n ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ tⁿ → +∞ เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ

[แก้] การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ

วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ aⁿ คือการคูณเป็นจำนวน n−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2¹⁰⁰ แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้

2² = 4
(2²)² = 2⁴ = 16
(2⁴)² = 2⁸ = 256
(2⁸)² = 2¹⁶ = 65,536
(2¹⁶)² = 2³² = 4,294,967,296
(2³²)² = 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616
2⁶⁴ 2³² 2⁴ = 2¹⁰⁰ = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง
จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ aⁿ โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ Θ(log n) โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ น้อยที่สุด ของ aⁿ (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย ^[28]

[แก้] สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน

การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น f³(x) จึงอาจหมายถึง f(f(f(x))) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f⁻¹(x) ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ f; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน f^1/2(x)
อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin²x เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin x)² โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin⁻¹x หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin x เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ ก็คือ csc x เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log²x หมายถึง (log x)² ไม่ใช่ log log x

[แก้] การวางนัยทั่วไป

[แก้] พีชคณิตนามธรรม

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม
กำหนดให้ X เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว xⁿ ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ x จำนวน n ตัว สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของ X และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า

$x^1=x\;$

$x^n=x^{n-1}x; \quad\hbox{for }n>1$

จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

$(x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k)\;$ (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)
$x^{m+n} = x^m x^n\;$
$(x^m)^n = x^{mn}\;$

ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย e) ดังนั้น x⁰ จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า x ใด ๆ

$x1 = 1x = x\;$ (เอกลักษณ์สองด้าน)
$x^0 = 1\;$

ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ x สามารถแสดงได้ด้วย x⁻¹ และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง

$x x^{-1} = x^{-1} x = 1\;$ (ตัวผกผันสองด้าน)
$(x y) z = x (y z)\;$ (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)
$x^{-n} = \left( x^{-1} \right)^n\;$
$x^{m-n} = x^m x^{-n}\;$

ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย

$(xy)^n = x^n y^n\;$

ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ
เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ x^∗n หมายถึง x ∗ ··· ∗ x หรือ x^#n หมายถึง x # ··· # x ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม
สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ g^h = h⁻¹gh เมื่อ g และ h เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก

[แก้] เซต

ดูบทความหลักที่ ผลคูณคาร์ทีเซียน

ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติและ A เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ Aⁿ มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ n สิ่งอันดับของสมาชิกของ A สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ Aⁿ หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0, 1, 2, ..., n−1} ไปยัง A; n สิ่งอันดับ (a₀, a₁, a₂, ..., a_n−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก i ไปยัง a_i
กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต A เซตหนึ่ง สัญกรณ์ A^κ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง A บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ ^κA เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป
การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า

$\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i}$

เมื่อ V_i แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า V_i = V สำหรับแต่ละค่า i แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น V^⊕N หรือเขียนเพียงแค่ V^N โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ n เพื่อให้ได้ Vⁿ แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น n สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา V มาเป็นฟีลด์ R สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ n เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด Rⁿ
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น n สิ่งอันดับ (n-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น S^N จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก N ไปยัง S ในกรณีนี้

$S^N \equiv \{ f\colon N \to S \}$

สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |S^N| = |S|^|N| เมื่อ |X| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ X; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0,1} เราจะได้ |2^X| = 2^|X| เมื่อ 2^X ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P(X) คือเซตกำลังของ X; เซตย่อย Y แต่ละเซตของ X สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน X ที่ให้ค่า 1 สำหรับ x ∈ Y และค่า 0 สำหรับ x ∉ Y

[แก้] ทฤษฎีประเภท

ดูบทความหลักที่ ประเภทปิดคาร์ทีเซียน

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็นอ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 0⁰ จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ

[แก้] จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

ดูบทความหลักที่ เลขคณิตเชิงการนับ และ เลขคณิตเชิงอันดับที่

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ^λ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ^[4] ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2³
การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์ (transfinite induction)

[แก้] การยกกำลังซ้อน

เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3,3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ

[แก้] ในภาษาโปรแกรม

สัญกรณ์ตัวยก x^y สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบนเครื่องพิมพ์ดีดหรือคอมพิวเตอร์เทอร์มินัล ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิ

x ↑ y: อัลกอล, คอมโมดอร์เบสิก
x ^ y: เบสิก, เจ, แมตแล็บ, อาร์, ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เทกซ์ (TeX และตัวต่อยอดอื่น ๆ), ทีไอ-เบสิก, บีซี (เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ), ลัว (Lua), เอเอสพี และระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่
x ^^ y: แฮสเกลล์ (ฐานเศษส่วน เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), ดี
x ** y: เอดา, แบช, โคบอล, ฟอร์แทรน, ฟอกซ์โพร, กนูพล็อต, โอแคเมล, เพิร์ล, พีแอล/วัน, ไพทอน, เรกซ์ (REXX), รูบี, แซส (SAS), ทีซีแอล, อาบัป, แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนจุดลอยตัว), ทัวริง, วีเอชดีแอล
x⋆y: เอพีแอล
Power(x, y): ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เดลฟี/ปาสกาล (ประกาศในยูนิต Math)
pow(x, y): ซี, ซีพลัสพลัส, พีเอชพี, ทีซีแอล
math.pow(x, y): ไพทอน
Math.pow(x, y): จาวา, จาวาสคริปต์, มอดูลา-3, เอ็มแอลมาตรฐาน
Math.Pow(x, y) หรือ BigInteger.Pow(x, y): ซีชาร์ป (และภาษาอื่นที่ใช้บีซีแอล)
(expt x y): คอมมอนลิสป์, สกีม
math:pow(x, y): เออร์แลง

สัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ XOR ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึงการอ้างถึงทางอ้อม (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึงการต่อสายอักขระ (concatenation)

[แก้] ประวัติของสัญกรณ์

คำว่า กำลัง (power) ถูกใช้โดยยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง ^[29] ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า มัล (mal) สำหรับยกกำลังสองและ กับ (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ใช้ m และ k เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ^[30]
นีโกลา ชูว์เก (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (Henricus Grammateus) และมีคาเอล ชตีเฟิล (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน แซมวล จีก (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า ดัชนี (index) ในปี ค.ศ. 1696 ^[29] ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) ใช้คำว่า สแควร์ (square), คิวบ์ (cube), เซนซิเซนซิก (zenzizenzic), เซอร์ฟอไลด์ (surfolide), เซนซิคิวบ์ (zenzicube), เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์ (second surfolide) และ เซนซิเซนซิเซนซิก (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ ^[31] นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า ไบควอเดรต (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย
นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่นไอแซก นิวตัน) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง ax + bxx + cx³ + d เป็นต้น
คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ อินโวลูชัน (involution) ^[32] แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ อาวัตนาการ (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง
ขอขอบคุณ วิกีพีเดีย

ค้นหาบล็อกนี้

วันศุกร์ที่ 12 สิงหาคม พ.ศ. 2554

เลขยกกำลัง

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

[แก้] เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1

[แก้] ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

[แก้] เอกลักษณ์และสมบัติ

[แก้] กำลังของ 10

[แก้] กำลังของ 2

[แก้] กำลังของ 1

[แก้] กำลังของ 0

[แก้] กำลังของ −1

[แก้] เลขชี้กำลังขนาดใหญ่

[แก้] กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก

[แก้] รากที่ n มุขสำคัญ

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

[แก้] กำลังของ e

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง

[แก้] รากที่ n ที่เป็นลบ

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก

[แก้] กำลังจำนวนจินตภาพของ e

[แก้] ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก

[แก้] กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

[แก้] กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน

[แก้] รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)

[แก้] รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป

[แก้] การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน

[แก้] ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

[แก้] 0 ยกกำลัง 0

[แก้] มุมมองที่แตกต่างในอดีต

[แก้] การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์

[แก้] มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE

[แก้] ภาษาโปรแกรม

[แก้] ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์

[แก้] ลิมิตของการยกกำลัง

[แก้] การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ

[แก้] สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน

[แก้] การวางนัยทั่วไป

[แก้] พีชคณิตนามธรรม

[แก้] เซต

[แก้] ทฤษฎีประเภท

[แก้] จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

[แก้] การยกกำลังซ้อน

[แก้] ในภาษาโปรแกรม

[แก้] ประวัติของสัญกรณ์

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น